研究(RESEARCH)

• Schrödinger equations with inverse-square-scaled singular potentials
• Semilinear Schrödinger evolution equations (existence, blow-up, scattering)
• Hardy and Rellich inequalities
• Generalized Fourier and Laplace transforms --- The Mellin and Hankel transforms

• Links for papers
• 研究履歴(論文・講演など)(日本語pdf)

「逆2乗スケールの特異性のあるポテンシャルつきの非線形シュレディンガー方程式」についての研究が主軸である． シュレディンガー方程式は分散性の強い現象を表す微分方程式である． 特異性は具体的にはa|x|^-2であり， 作用素-Δ+V (逆2乗型ポテンシャル)の形式で考察する必要がある． 物理的には

• 燃焼理論
• 円錐場における量子力学
• 可積分系モデル(カロジェロ・モーザー模型)
• エフィモフ状態(2体ではなく3体で安定した束縛状態)
• 水分子などの極性分子による電子捕獲(放射性崩壊の一種)
• ブラックホールによる物質の捕獲
• 帯電ワイヤと相互作用する原子
• 宇宙ひものダイナミクス
• 非相対論的量子力学におけるリミットサイクル

など数多くあるが，個人的には数学的興味が強い．

• スケールの一致：(-Δ+a|·|^{-2})[u(λx)]=λ^{2}[(-Δ+a|·|^{-2})u](λx)
• 非負自己共役性の限界: a≥-(N-2)^{2}/4のとき非負自己共役になり，a<-(N-2)^{2}/4のときには非負自己共役にならない (非負自己共役性は熱方程式やシュレディンガー方程式を解くのに必要不可欠な条件である)

最近は，特に散乱問題について重点的に研究を進めている． それに関連して， 「非線形シュレディンガー方程式に対応した抽象発展方程式の可解性」 「一般化されたHardyの不等式」 などにも興味があり，いくつかの研究成果を出すことに成功している． また，上記の研究に関連した関数変換(Mellin変換・Hankel変換)にも興味がある．

I study about “Nonlinear Schrödinger equations with singular potentials like inverse-square scale.” Schrödinger equations are the partial differential equations describing a phenomenon with strong dispersibility. Typical singularity is a|x|^-2 and hence we need to consider the operator as -Δ+V (purterved Laplacian). Inverse-square singular potentials are meaningful on physical science. For example,

• Conbustion theory
• Quantum mechanics on conic manifolds
• Integrable systems (Calogero-Moser models)
• Efimov states (three bosons can be stable bound states but any two bosons can not form a pair)
• Electron capture by polar molecules (e.g. water) --- one of the radioactive disintegration
• Capture of matter by black holes
• The motions of cold neutral atoms interacting with thin charged wires
• The dynamics of a dipole in a cosmic string background
• Limit cycles in nonrelativistic quantum mechanics

But I am instereted in the following mathematical views:

• scaling symmetry: (-Δ+a|·|^{-2})[u(λx)]=λ^{2}[(-Δ+a|·|^{-2})u](λx)
• threshold of nonnegative self-adjointness: the case a≥-(N-2)^{2}/4 is OK, the case a<-(N-2)^{2}/4 is NO! (the nonnegative self-adjointness is the essential condition for the solvabiility of heat equations and Schrödinger equations)

Now I am considering about the scattering problems. Related to the works I am interested in “Solvability of abstract evolution equations applied to semilinear Schrödinger equations,” “Generalized Hardy type inequality” and so on. Some these interests are published as papers authored by me. Moreover, I am also interested in the function transform such that the Mellin transform and the Hankel transform related to my studies.